체론(field theory)

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체론(field theory)

개요

사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
유리수, 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등
5차방정식과 근의 공식을 이해하기 위한 기본적인 개념틀

체(field)의 정의

체 $<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>$
집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴

$(\mathbb{F}, +)$ 는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.

$(\mathbb{F}^{*}, \cdot)$ 는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 $\mathbb{F}^{*}$ 은 0을 제외한 원소들의 집합.

더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 $a,b,c\in \mathbb{F}$ 에 대하여 $a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ 이 성립한다.

체확장

체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 $F\subset K$ 일때, K를 F의 체확장이라 한다

순환체확장(cyclic extension)

순환 체확장(cyclic extension)

거듭제곱근 체확장(radical extension)

주어진 체에서 시작하여 거듭제곱근들을 넣어 만들 수 있는 체확장의 종류
정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다
거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸

다항식과 갈루아체확장

(기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
유리수체 $\mathbb{Q}$ 에서 정의된 다항식
해는 $\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 세 개가 존재
유리수체 $\mathbb{Q}$ 에 $\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 를 집어넣으면 유리수체의 확장 $K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})$ 를 얻음
이 때, 체 는 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 $[K : \mathbb{Q}]=6$ 이 됨

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/체
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part I
- Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 7 (Aug. - Sep., 1999), pp. 677-684
Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part II
- Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 9 (Nov., 1999), pp. 859-863

관련도서

A History of Abstract Algebra
- Israel Kleiner

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