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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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바이어슈트라스 타원함수 ℘

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

정의

  • 2차원격자를 이루는 두 복소수 \omega_1,\omega_2에 대하여, 

    \wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}

    \wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}

  • 이중주기를 갖는 함수

    \wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)

 

 

 

℘의 로랑급수

  • 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.

    \wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)

    여기서 g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}, g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}

 

(증명)

\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)  를 정의하자.

\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\} 이므로 \zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2) 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.

\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)

=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}. 여기서 G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}.

따라서 \wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}.

 

 

 

미분방정식

  • 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴

    \wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3

 

 

도함수의 해

  • \wp(z)는 우함수, \wp'(z)는 기함수임을 이용하면, \wp'(\frac{\omega}{2})=0 임을 증명할 수 있다

  • e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)

    e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)

    e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)

  • 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음

    y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)

 

 

덧셈공식

\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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