바이어슈트라스 타원함수 ℘

이 항목의 스프링노트 원문주소

바이어슈트라스의 타원함수

개요

정의

2차원격자를 이루는 두 복소수 $\omega_1,\omega_2$ 에 대하여,

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}$

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}$
이중주기를 갖는 함수

$\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)$

℘의 로랑급수

원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.

$\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)$

여기서 $g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}$ , $g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}$

(증명)

$\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)$ 를 정의하자.

$\wp(z)=-\zeta'(z)=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{(z-m)^2}- \frac{1}{\omega^2} \right\}$ 이므로 $\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\Omega}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega}^2)$ 의 로랑급수를 구한 뒤, 미분을 하면 된다.

$\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)$

$=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1}$ . 여기서 $G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega} \frac{1}{\omega^{2n}}$ .

따라서 $\wp(z)=\frac{1}{z^2}-\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}$ .

$G_{2n}$ 에 대해서는 모듈라 형식(modular forms)의 아이젠슈타인 급수 참조.

미분방정식

바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴

$\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3$

도함수의 해

$\wp(z)$ 는 우함수, $\wp'(z)$ 는 기함수임을 이용하면, $\wp'(\frac{\omega}{2})=0$ 임을 증명할 수 있다
$e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)$

$e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)$

$e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)$
다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음

덧셈공식

$\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

http://www.maths.gla.ac.uk/~mengland/Conferences/Burnhandout.pdf
The zeros of theWeierstrass }–function and hypergeometric series W. Duke and O¨ . Imamog¯lu http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/zeros.pdf
TeX symbol \wp, Unicode U+2118

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

바이어슈트라스 타원함수 ℘

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정의

℘의 로랑급수

미분방정식

도함수의 해

덧셈공식

역사

메모

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서

관련기사