아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

직접적인 방식으로 만들 수 있는 모듈라 형식의 예
푸리에 계수가 자연수의 약수의 합을 통해 표현됨
모듈라 형식의 이론을 통해 이차형식의 세타함수의 계수와 아이젠슈타인 급수의 푸리에 계수를 비교하는 것이 가능해지므로, 이차형식의 연구에 중요하게 사용

$G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]$

$G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]$

$G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)$

모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, $\tau=i\infty$ 에서의 푸리에 전개가 필요하며 이는 다음과 같이 주어짐

$G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)$

$c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}$ , $\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r$

(증명)

$G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}$ 인 경우

$\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}$

$=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}+\frac{1}{(m-n\tau )^{2k}}$

$=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^{2k}} +2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}$

여기서 코탄젠트 항목에서 얻어진 다음 항등식을 이용하면, 푸리에 급수를 계산할 수 있다.

$\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})$

여기서 미분을 반복하면,

$-\frac{1}{\tau^2}-\sum_{m\neq0}\frac{1}{(\tau+m)^2 }=-\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^2 }= -(2\pi i)^2 \sum_{r=1}^{\infty}re^{2\pi i r \tau}$

$2\sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^3 }= -(2\pi i)^3 \sum_{r=1}^{\infty}r^2e^{2\pi i r \tau}$

$-3! \sum_{m}\frac{1}{(\tau+m)^4 }= -(2\pi i)^4 \sum_{r=1}^{\infty}r^3e^{2\pi i r \tau}$

$E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)$

$E_4(\tau)= 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n}$

$E_6(\tau)=1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n}$

$g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}$

$g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}$

인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의

$G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)$
원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름

$G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}$
정규 아이젠슈타인 급수

$E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}$

$G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)$

$\tau = x+ iy$ , 에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐

$G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}$

$E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}$
모듈라 성질을 얻는대신 복소해석적 성질을 잃게 됨