코탄젠트

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코탄젠트

개요

삼각함수 의 하나
주기가 $\pi$ 인 주기함수
정의

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
복소함수로서의 유용한 성질은 데데킨트 합 , 왓슨 변환(Watson transform) 등에 이용할 수 있다

함수의 그래프

미분과 적분

미분

$\frac{d}{dx}\cot x= -\csc^2 x$
부정적분

$\int \cot x dx = \log \sin x+C$

코탄젠트의 테일러급수

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

$\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}$

정수에서의 리만제타함수의 값

복소함수 코탄젠트의 유용한 성질

$\cot (\pi z)$ 는 정수점에서 simple pole 을 가지며, residue 는 $z={1}/{\pi}$ 이다.
$\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i$
$\cot (\pi z)$ 는 원점을 중심으로 반지름이 인 원 위에서 유계이며, 특히 $0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right$ 가 성립함. ( $n\in \mathbb{N}$ , $t\in \mathbb{R}$ )

코탄젠트의 부분분수 전개

$\pi \cot \pi\tau=\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m}$

코탄젠트의 푸리에급수

$\cot \pi\tau=-i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})$

(증명)

$\cot \pi\tau=\frac{\cos \pi\tau}{\sin\pi\tau}=i \frac{e^{i\pi\tau}+e^{-i\pi\tau}}{e^{i\pi\tau}-e^{-i\pi\tau}}=i \frac{e^{2\pi i \tau}+1}{e^{2\pi i \tau}-1}$

$q=e^{2\pi i \tau}$ 로 두자.

$\pi i \frac{q+1}{q-1}=\pi i (\frac{q}{q-1}+\frac{1}{q-1})=-\pi i (\sum_{r=1}^{\infty}q^r+\sum_{r=0}^{\infty}q^r)=-\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}q^r)$ ■

(따름정리)

코탄젠트의 푸리에급수와 부분분수 전개를 비교하여, 다음을 얻는다.

$\frac{1}{\tau}+\sum_{m\neq0}\frac{1}{\tau+m}-\frac{1}{m} = -\pi i (1+2\sum_{r=1}^{\infty}e^{2\pi i r \tau})$

정적분

로그 사인 적분 (log sine integrals)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cot x dx =- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t)dt =\frac{\pi}{2}\ln 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\cot x dx = -2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\frac{7}{8} \zeta(3)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^3\cot x dx = -3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2 \ln (\sin x)dx=\frac{\pi^3}{8}\ln 2-\frac{9}{16} \zeta(3)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cot x dx =\frac{G}{2}+\frac{\pi}{8}\log 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^2\cot x dx =-\frac{35}{64}\zeta(3)+\frac{\pi G}{4}+\frac{\pi^2}{32}\log 2$

(여기서 G는 카탈란 상수)

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