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판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

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판별식 (discriminant) 함수

타원곡선의 discriminant

$\tau\in \mathbb H$ 에 대응되는 타원곡선 $y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)$ 의 판별식은 다음과 주어짐.

$F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)$
정의에 따라 는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
또한 cusp 형식이 됨.

$g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}$ , $g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}$ 이므로,

$F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0$

이 함수의 $\tau=i\infty$ 에서의 푸리에 전개는

$g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)$ 로 주어짐.
에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조

정의

$\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots$ 를 discriminant 함수의 정의로 함.
$\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)$ 로 표현가능

모듈라 성질

위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨

$\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)$

무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

데데킨트 에타함수

$\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$

의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,

$\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots$

라마누잔의 타우 함수

discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,

$\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$

라마누잔의 추측

$|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}$
1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨

Lehmer의 추측

모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\tau(n)\neq 0$ 이다
http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
미해결

메모

Hecke’s theory of Hecke operators
Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
Ramanujan-Petersson Conjectures

관련된 항목들

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

The vanishing of Ramanujan’s τ(n)
- Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1

관련도서

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라마누잔,미해결

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