에 대응되는 타원곡선
의 판별식은 다음과 주어짐.
정의에 따라 는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
또한 cusp 형식이 됨.
,
이므로,
이 함수의 에서의 푸리에 전개는
로 주어짐.
에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조
를 discriminant 함수의 정의로 함.
로 표현가능
위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,
1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨
Hecke’s theory of Hecke operators
Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
Ramanujan-Petersson Conjectures
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
The vanishing of Ramanujan’s τ(n)
Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
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