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격자의 세타함수

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격자의 세타함수

정의

격자 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함

$\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}$
여기서 은 벡터 의 norm 을 가리킴.

자코비 세타함수의 경우

격자가 정수집합 $\mathbb Z$ 로 주어진 경우의 세타함수

$\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}$ , $q=e^{2\pi i \tau}$

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 에 대하여 , 세타함수 $\theta_L$ 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 만족된다. ( $\theta_L(i\infty)=1$ 도 알 수 있음.)

포아송의 덧셈 공식을 사용하자.

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Last edited on 03/29/2012 10:50 by 피타고라스

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