정수에서의 리만제타함수의 값

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정수에서의 리만제타함수의 값

개요

홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.

$\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1$ 여기서 $B_{2n}$ 은 베르누이수.

$\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1$ 또는 $\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1$

$\zeta(0)=-\frac{1}{2}$
참고로 베르누이 수의 처음 몇개는 다음과 같음

B_0=1 , $B_1=-{1 \over 2}$ , $B_2={1\over 6}$ , B_3=0 , $B_4=-\frac{1}{30}$ , B_5=0 , $B_6=\frac{1}{42}$ , $B_8=-\frac{1}{30}$ , $B_{10}=\frac{5}{66}$ , $B_{12}=-\frac{691}{2730}$ , $B_{14}=\frac{7}{6}$

유수정리를 이용한 증명

$\zeta(4)$ 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. $\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz$

$C_{R}$ 는 원점을 중심으로 반지금이 인 원

반지름을 $R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})$ 형태로 잡아 크게 하면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자.

0이 아닌 정수 에 대하여 $z\approx k$ 이면, $\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}$

한편 $\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}$ 의 0이 아닌 정수 에서의 유수(residue)는 $\frac{1}{k^{4}}$ 로 주어진다.

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$ (코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 $-\pi^{4}/45$ 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 $-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0$ . 따라서 $\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$ 를 얻는다.

일반적인 자연수 에 대하여도 마찬가지 방법으로

$2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0$

$\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1$

을 얻는다.

왓슨 변환(Watson transform)

맥클로린급수

로그감마 함수의 맥클로린 급수는 다음으로 주어진다

$\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k$
코탄젠트의 맥클로린 급수

$\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}$

홀수에서의 리만제타함수의 값

$\zeta(1)$ 는 발산한다.
$\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \cdots$ 의 닫힌 형식이 어떤 것인지는 아직 알려지지 않았다. (짝수에서의 값에 비해 훨씬 어려운 문제이다.)
$\zeta(3)$ 이 무리수인 것은 Apéry가 1979년 증명했다. 초월성에 대해서는 아직 알려지지 않았다. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 항목 참조.
리만 제타 함수를 무리수로 만드는 홀수는 무한히 많다는 사실, 그리고 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 중 적어도 하나는 무리수라는 사실이 증명되어 있다.