다이감마 함수(digamma function)

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digamma 함수

개요

감마함수의 로그미분으로 정의

차분방정식에서 자연스럽게 등장함.

정의와 급수표현

정의

$\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$
급수표현

$\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots$

(증명)

감마함수의 무한곱표현

$\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■

$z = 0, -1, -2, -3, \cdots$ 에서 pole을 가진다

함수의 그래프

일 때, $\psi(x)$ 의 그래프

도함수와 polygamma 함수

trigamma $\psi^{(1)}(z)$
tetragamma $\psi^{(2)}(z)$
pentagamma $\psi^{(3)}(z)$
폴리감마함수(polygamma functions)

차분방정식과의 관계

차분방정식

$\Delta \psi=\frac{1}{x}$ 즉,

$\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}$

차분방정식의 기본정리를 적용하면

$\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)$
조화급수와의 관계

$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma$
일반화

$\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

asymptotic series

급수표현

$\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}$

$\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}$

여기서 $B_{n}$ 은 베르누이 수

반사공식

감마함수의 반사공식

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!$
위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

여기서 를 로 두면 다음을 얻는다

$\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

덧셈공식

감마함수의 곱셈공식에 따른 성질

$m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)$

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)$

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

$(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)$

미분하면,

$m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)$ ■

이항 덧셈공식

$2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2$

가우스의 Digamma 정리

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)$

$\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)$

special values

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{5}\right) =- \gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})$

$\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function

http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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