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오일러 치환

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오일러치환

개요

$R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환
유리함수의 적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
이차곡선 를 유리함수 를 사용하여 로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

제1오일러치환

일때, $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$ 로 치환
예

$\int\sqrt{x^2-4}\,dx$

$\sqrt{x^2-4}=t-x$

$x=\frac{4+t^2}{2t}$

$\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt$

제2오일러치환

일때, $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$ 로 치환
예

$\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx$

$\sqrt{1-x^2}=xt+1$

$x=\frac{2t}{t^2+1}$

$\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt$

제3오일러치환

가 두 실근u,v를 가질때, $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)$ 로 치환
예

$\int\sqrt{x^2-4}\,dx$

$\sqrt{x^2-4}=t(x-2)$

$x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}$

$\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt$

타원적분

유리함수 R에 대한 $R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})$ 의 부정적분

$\int R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx$

단, 는 서로 다른 해를 가짐
곡선 는 위에서처럼 적당한 유리함수 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
타원적분

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