물체의 낙하와 무한등비급수

간단한 소개

공을 떨어뜨렸을 때, 공이 멈출 때까지 시간은 얼마나 걸릴까?

공의 크기를 무시하고, 공기의 저항을 무시할 수 있는 이상적인 경우,

이 시간은 수렴하는 무한등비급수의 형태로 나타난다

우선, 아래 영상을 본 다음 사고 실험을 해보자

(지구에서)h 미터 높이에서 탄성계수가 e(<1)인 바닥에 공을 떨어뜨린다.(자유낙하)

그러면 이 공은 공중에서는 가속도가 g인 등가속도 운동을 할 것이고

바닥과 부딛혔을 때에는 비탄성 충돌을 할 것이다.

이 물체가 떨어지자마자 바닥에 부딛힐 때의 속도 v_0 와 시간 t_0 는 역학적 에너지 보존의 법칙에 의하여,

$mgh=\frac{mv_0^2}{2} \\ \therefore v_0 = \sqrt{2gh}$

$v_0=gt_0& \therefore t_0= \sqrt{\frac {2h}{g}}$

탄성계수가 e인 바닥에 공이 v의 속도로 부딛혀서 튕겨 나오면, 튕겨져 나오는 속도 v'은

$e=-\frac{0-v'}{0-v} \\ v'=-ev$

크기만 따진다면 속도가 e배 된다.

다시말해, 처음 충돌한 뒤의 속도의 크기 v_1 을 이라 하고,

이라 하고, n번째 충돌 후 속도의 크기를 v_n 이라 한다면,

수열 $\{v_n\}$ 은 공비가 e(<1)이고 초항이 v_1 인 등비수열이 된다. 즉, $v_n=ev_{n-1}$ 이다.

지면에서 연직방향으로 v의 속력으로 운동하는 공이 낙하할 때까지 걸리는 시간t를 구해보면,

운동에너지가 보존되므로 속력의 크기는 같고 방향은 정 반대가 된다.

$v-gt=-v , & t= \frac{2v}{g}$

자 그럼, 아까와 마찬가지로 수열 $\{t_n\}$ 을 정의하면 되는데, 이때 은

$t_1=\frac{2v_1}{g}=\frac{2e\sqrt{2gh}}{g}=2e\sqrt{\frac{2h}{g}}$

$t_n = \frac{2v_n}{g}, & t_n = et_{n-1}$ 로 공비가 e이고 초항이 t_1 인 등비수열이다.

n번째 충돌 후 공이 다시 바닥으로 낙하할 때까지 걸리는 시간Tn은

$T_n=\sum_{k=0}^{n}t_k$

우리가 구하고 싶은 것은 공이 멈출 때 까지의 시간이다.

공이 멈춘다는 것은 속력이 0이 된다는 것인데,

수열 $\{v_n\}$ 은 위에서 말했듯, 공비가 1보다 작은 등비수열이므로 0에 수렴한다.

즉 공이 낙하하고 부딛히고 다시 낙하하고 하는 과정이 무한히 반복되어야 한다는 것이다.

따라서 우리가 구하고자 하는 시간은,

가 나온다.

고등학교 물리 교과서