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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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포아송의 덧셈 공식

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 아벨군 G와 그 부분군 H에 대하여 다음을 정의

    • 쌍대군 \^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}

    • H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}

  • 푸리에 변환

    \hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g)

 

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 G와 부분군 H, g\in G에 대하여 다음이 성립한다.

\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)

 

(따름정리)

특별히 g=1인 경우 다음을 얻는다.

\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)

 

 

 

G=\mathbb R인 경우

  • G=\mathbb R, H=\mathbb Z

  • \^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}, \chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}

  • H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}

  • 푸리에 변환

    \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx

 

(정리) 포아송

\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)

 

(증명)

F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)

F(x+1)=F(x) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}

a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt

F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n

한편 a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)

따라서 \sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n) (증명끝)

 

 

선형 코드의 경우

  • G=\mathbb F_2^n, H = C 선형코드의 경우

 

  •  

    \^G=\{\chi_a:a\in G\},여기서  \chi_a(g)=(-1)^{a\cdot g}

     

  •  

    C^{\#}=H^{\#}=\{\chi_a : a\cdot u=0 \ \text{ for all }u \in G\}

     

  • 선형코드에 대해서는 코딩이론 항목을 참조

 

 

메모
  • 코딩이론

  • 코드

    • 이차형식에서 격자에 대응

  • 코드의 weight enumerator

  •  

    격자의 쎄타함수에 대응

  • 코드 : 격자 = 코드의 weight enumerator : 격자의 세타함수
  • MacWilliams Identity
  • 섀넌 샘플링 정리

 

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

관련도서 및 추천도서

  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
    • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

  • 도서검색

    • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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