포아송의 덧셈 공식

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포아송의 덧셈 공식

개요

아벨군 와 그 부분군 에 대하여 다음을 정의
- 쌍대군 $\^G=\{\chi : G \to \mathbb C^{*}|\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)\}$
- $H^{\#}=\{\chi\in \^G | \chi (h)=1\}$
푸리에 변환

$\hat f(\chi) := \sum_{g \in G} f(g)\bar \chi(g)$

(정리) 포아송 덧셈 공식

아벨군 와 부분군 , $g\in G$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(gh)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)\chi(g)$

(따름정리)

특별히 g=1 인 경우 다음을 얻는다.

$\frac{1}{|H|}\sum_{h\in H}f(h)=\frac{1}{|G|}\sum_{\chi \in H^{\#}}\hat{f}(\chi)$

$G=\mathbb R$ 인 경우

$G=\mathbb R$ , $H=\mathbb Z$
$\^G=\{\chi_{\xi}:\xi \in G\}$ , $\chi_{\xi}(g)=e^{2\pi i \xi g}$

$H^{\#}=\{\chi_n} : n \in \mathbb Z\}$

푸리에 변환

$\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx$

(정리) 포아송

$\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)$

(증명)

$F(x):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(x+n)$

F(x+1)=F(x) 이므로 푸리에 전개를 할 수 있다.

$F(x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}a_ne^{2\pi i n x}$

$a_n=\int_{0}^{1}F(t)e^{2\pi i n t}\,dt$

$F(0):=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}a_n$

한편 $a_y=\int_0^1\sum_{n\in \mathbb Z}f(t+n)e^{-2\pi i t y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_0^1f(t+n)e^{-2\pi i (t+n)y}\,dt=\sum_{n\in \mathbb Z}\int_n^{n+1}f(t)e^{-2\pi i (t)y}\,dt=\hat{f}(y)$