미적분학의 기본정리

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미적분학의 기본정리

개요

적분과 미분의 관계
미적분학의 기본정리는 다변수 미적분학에서 선적분의 기본정리, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등으로 확장

미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨

미적분학의 기본정리

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)$ 이면 $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$

선적분의 기본정리

1-form 과 0-form

$\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)$

or

$\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)$

여기서 는 를 시작점, 을 끝점으로 갖는 곡선

곡면에 대한 스토크스의 정리

2-form 과 1-form

$\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}$

그린 정리

스토크스 정리의 특수한 경우

$\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)$
그린 정리

가우스의 발산 정리

3-form과 2-form

$\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S$

여기서

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }$
발산 정리(divergence theorem)

가장 일반적인 형태의 스토크스 정리

미분형식 (differential forms) 에 대한 스토크스 정리

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$

역사

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메모

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사전형태의 참고자료

관련논문

The History of Stokes' Theorem
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156