데데킨트 합

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개요

 

 

정의

 

 

코탄젠트합으로서의 표현

 

 

상호법칙

 

(증명)

F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz

네 점 \pm iM, 1+\pm iM을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 \Gamma에 대한 적분을 사용한다.

\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i이므로, \lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i 임을 확인하자.

\int_{\Gamma}F(z)dz 는 M에 의존하지 않으므로, \int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i을 얻는다.

따라서 \Gamma 내부에 있는 유수의 합 S는 -\frac{1}{\pi} 가 된다.

 

폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

z=\lambda/c 에서의 유수는 \frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}

z=\mu/c 에서의 유수는 \frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}

 

 코탄젠트의 급수전개를 사용하여 z=0에서의 유수를 구하자.

F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)

따라서 z=0에서의 유수는 -\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right) 이다. 

 

S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi} 를 얻는다. ■

 

 

일반화

D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)

 

 

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