Header

  1. View current page

    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

Springnote Home
Profile_image?t=1256009541&type=big
35 1274

All Pages

Updates

Add to Watch List

정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

Edit
이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

기본용어

  • 판별식

    \Delta=b^2-4ac

  • 이차형식의 동치류

    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의

      x \to x+y , y \to y

      x \to x, y \to x+y

      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함

      \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

    • 즉 f(x,y)=g(ax+by,cx+dy) 인 정수 ad-bc= 1 가 존재하면, f\sim g 이라 함

  • primitive 이차형식

    a,b,c 가 서로소인 이차형식 ax^2+bxy+cy^2

 

 

중요한 문제들

  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제

    • 예) x^2+ny^2 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) x^2+ny^2 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?

  • 주어진 판별식\Delta 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제

    • \Delta=b^2-4ac를 만족시키는 모든 ax^2+bxy+cy^2 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것

    • 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다

    • 판별식이 \Delta인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 h(\Delta)를 \Delta에 대한 class number 라 함

    • genus의 개념

 

 

기약형식

  • 주어진 이차형식이 있을때, 

  • 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다

    R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}

    + 경계조건

  • 기약 형식

    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름

      |b|\leq a \leq c and b \geq 0 if either |b|=a  or a=c

  • ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y), \mbox{Im}\, \tau >0 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다

    |b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}

    a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1

    fundamental domain의 경계조건은 b \geq 0 if either |b|=a  or a=c 로 옮겨짐

 

(정리)

\tau (\mbox{Im}\, \tau >0) 에 대응되는 이차형식은 x=aX+bY, y=cX+dY (여기서 a,b,c,d는 정수이고 ad-bc= 1)에 의해 \frac{a\tau+b}{c\tau+d} 에 대응되는 이차형식으로 변환된다. 

 

 

판별식이 작은 경우의 기약형식 예

 

가우스의 class number one 문제

 

 

genus

  • 판별식이 \Delta인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 (\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다

 

 

이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응

  • 이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음

    • 이차형식의 합성이란 (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2와 같은 공식의 일반화

  • ax^2+bxy+cy^2가 양의정부호 즉 a>0, \Delta=b^2-4ac<0 를 만족할 때, 대응되는 ideal은  [2a, -b+\sqrt\Delta]로 주어짐

 

 

memo

 

 

역사

 

 

많이 나오는 질문과 답변

 

 

사전형태의 참고자료

 

 

관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

관련논문과 에세이

History

Last edited on 04/13/2012 15:52 by 피타고라스

Linked Page

Linked Pages: 18 more

Comments (0)

You must log in to leave a comment. Please sign in.