정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
- 예) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
주어진 판별식 $\Delta$ 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- $\Delta=b^2-4ac$ 를 만족시키는 모든 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
- 판별식이 $\Delta$ 인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 $h(\Delta)$ 를 $\Delta$ 에 대한 class number 라 함
- genus의 개념

주어진 이차형식이 있을때,
모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다

$R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}$

+ 경계조건
기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
  
  $|b|\leq a \leq c$ and $b \geq 0$ if either or
$ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)$ , $\mbox{Im}\, \tau >0$ 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다

$|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}$

$a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1$

fundamental domain의 경계조건은 $b \geq 0$ if either or 로 옮겨짐

(정리)

$\tau$ ( $\mbox{Im}\, \tau >0$ ) 에 대응되는 이차형식은 x=aX+bY, y=cX+dY (여기서 a,b,c,d 는 정수이고 ad-bc= 1 )에 의해 $\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$ 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.

자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
$\Delta=b^2-4ac=-3$
$\Delta=b^2-4ac=-4$
$\Delta=b^2-4ac=-8$
$\Delta=b^2-4ac=-15$
- ,
- $h(\Delta)=2$ 이 되는 첫번째 예
$\Delta=b^2-4ac=-20$
- ,
$\Delta=b^2-4ac=-23$
- , ,
- $h(\Delta)=3$ 이 되는 첫번째 예
$\Delta=b^2-4ac=-40$
- ,
$\Delta=b^2-4ac=-163$
- $h(\Delta)=1$ 이 되는 가장 큰 예
- 오일러의 소수생성다항식 x² +x+41 , 숫자 163 참조
$\Delta=b^2-4ac=-240$
- ,
- 58에 대해서는 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 항목 참조
더 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조

기본판별식(fundamental discriminant)
- $\Delta=\Delta_0f^2$ 의 형태로 쓸 수 없는 $\Delta$ ( $\Delta_0$ 는 적당한 판별식, 는 1보다 큰 정수)
- 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
가우스의 문제
- 기본판별식 $\Delta<0$ 에 대하여 $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$
일반적으로는 다음과 같음
- $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163$
가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

판별식이 $\Delta$ 인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 $(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}$ 의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다

이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
- 이차형식의 합성이란 와 같은 공식의 일반화
가 양의정부호 즉 , $\Delta=b^2-4ac<0$ 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 $[2a, -b+\sqrt\Delta]$ 로 주어짐