자연상수 e 는 무리수이다

개요

 

 

 

증명

다음 식

이 성립함을 받아들인다면, 고등학교 수학 수준으로 증명할 수 있다. 증명은 귀류법을 사용한다. (위 급수는 지수함수에 대한 테일러 전개를 이용하여 얻을 수 있다.)

 

결론을 부정하여 자연상수가 유리수라고 하고, 서로소인 두 자연수 와 에 대해 라고 하자.

 

이면 이므로, 이다. 그러므로 이므로, 이다.

 

양변에 를 곱하면 다음을 얻는다.

여기서 좌변은 자연수이고, 우변의 큰 괄호 안의 수는 자연수이므로, 우변의 나머지 부분도 정수여야 한다. 또한 양수이므로, 이것은 자연수여야 한다.

다음 부등식

에서, 그런데 이므로,   이어야 한다. 이러한 자연수는 없으므로 모순.

 

 

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• 자연상수 e

 

 

 

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참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
• http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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• 대한수학회 수학 학술 용어집

 

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