자연상수 e 는 무리수이다

개요

 

 

 

증명

다음 식

\sum_{i = 0}^{\infty}\frac{1}{i!} = e

이 성립함을 받아들인다면, 고등학교 수학 수준으로 증명할 수 있다. 증명은 귀류법을 사용한다. (위 급수는 지수함수에 대한 테일러 전개를 이용하여 얻을 수 있다.)

 

결론을 부정하여 자연상수가 유리수라고 하고, 서로소인 두 자연수 p 와 q 에 대해 \sum_{i = 0}^{\infty}\frac{1}{i!} = \frac{q}{p} 라고 하자.

 

n > 3 이면 n! > n(n-1) 이므로, e=1+1+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{i!} <3 이다. 그러므로 2 < e < 3 이므로, p>1 이다.

 

양변에 p! 를 곱하면 다음을 얻는다.

q(p-1)! = \big(p!+\cdots+p(p-1)+p+1 \big)+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)}+\cdots

여기서 좌변은 자연수이고, 우변의 큰 괄호 안의 수는 자연수이므로, 우변의 나머지 부분도 정수여야 한다. 또한 양수이므로, 이것은 자연수여야 한다.

다음 부등식

\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)}+\cdots < \frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\frac{1}{(p+2)(p+3)}+ \frac{1}{(p+3)(p+4)} +\cdots

에서, 그런데 \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{(p+i)(p+1+i)} = \frac{1}{p+1} 이므로, LHS < \frac{2}{p+1}<1  이어야 한다. 이러한 자연수는 없으므로 모순.

 

 

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