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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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푸리에 변환

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간단한 소개

  • 아벨군 G과 불변측도, 캐릭터 \chi:G\to \mathbb{C}그 위에 정의된 함수 f:G \to \mathbb C,  에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의

    \hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg

 

 

유한아벨군의 경우
  • G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}와 준동형사상 f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}의 경우

\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}

여기서  \zeta = e^{2\pi i/N}

 

 

 

푸리에변환(실수의 경우)

  • 리 아벨군으로서의 G=(\mathbb{R}, +) 과 f:G \to \mathbb C 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의

    \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx

 

 

푸리에 변환의 예

f(x)=e^{-\alpha x^2}

\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}

f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)

\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}

 

 

멜린 변환

 

 

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Last edited on 12/09/2011 13:13 by 피타고라스

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