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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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삼각치환

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • R(x,\sqrt{1-x^2})의 적분

    x=\cos u 치환을 사용하면, R'(\cos x, \sin x) 의 적분으로 변화

  • R(x,\sqrt{x^2-1})의 적분

    x=\cosh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화

  • R(x,\sqrt{x^2+1})의 적분

    x=\sinh u 치환을 사용하면, R'(\cosh x, \sinh x)의 적분으로 변화

  • R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})의 적분

    ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\} 으로 쓴 다음

  • ac-b^2와 a의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

    오일러치환 항목 참조

 

 

삼각치환의 이론적 근거

  • 다음의 사실들을 알고 있어야 한다

    • 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다

    • '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다

      즉, y^2=ax^2+bx+c 라는 곡선을, 유리함수 f,g를 사용하여 x=f(t), y=g(t) 형태로 매개화할 수 있기 때문이다. 

    • 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다

  • R(x,y)는 x,y의 유리함수라고 가정

  • R(\cos x, \sin x)의 적분

  • 다음과 같은 치환적분을 사용

    t=\tanh \frac{x}{2}, \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}, \sinh x=\frac{2t}{1-t^2}, \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}

    \int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

관련도서 및 추천도서

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Last edited on 12/09/2011 14:09 by 피타고라스

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Comments (1)

  • 원칙대로

    혹시 인테그랄 x=0..1 (1+x)^1/x 의 계산방법을 알수 없을까요?

    09/27/2010 20:32
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