삼각치환

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삼각치환

개요

$R(x,\sqrt{1-x^2})$ 의 적분

$x=\cos u$ 치환을 사용하면, $R'(\cos x, \sin x)$ 의 적분으로 변화
$R(x,\sqrt{x^2-1})$ 의 적분

$x=\cosh u$ 치환을 사용하면, $R'(\cosh x, \sinh x)$ 의 적분으로 변화
$R(x,\sqrt{x^2+1})$ 의 적분

$x=\sinh u$ 치환을 사용하면, $R'(\cosh x, \sinh x)$ 의 적분으로 변화
$R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 의 적분

$ax^2+bx+c=\frac{1}{a}\{(ax+b)^2+{ac-b^2}}\}$ 으로 쓴 다음
와 의 부호에 따라, 적당히 치환하여 위의 경우로 끌고가면 끝.

오일러치환 항목 참조

삼각치환의 이론적 근거

다음의 사실들을 알고 있어야 한다
- 유리함수의 부정적분은 초등함수로 쓸수 있다
- '이차곡선은 유리함수로 매개화 가능' 하다
  
  즉, 라는 곡선을, 유리함수 를 사용하여 형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
- 삼각함수와 쌍곡함수들은 이차곡선을 매개화한다
는 의 유리함수라고 가정
$R(\cos x, \sin x)$ 의 적분

다음과 같은 치환적분을 사용 (이를 바이어슈트라스 치환 이라 한다)

$t=\tan \frac{x}{2}$ , $\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$ , $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ , $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\int R(\cos x, \sin x) \,dx= \int R(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\,dt$
$R(\cosh x, \sinh x)$ 의 적분

다음과 같은 치환적분을 사용

$t=\tanh \frac{x}{2}$ , $\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1-t^2}$ , $\sinh x=\frac{2t}{1-t^2}$ , $\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$

$\int R(\cosh x, \sinh x) \,dx= \int R(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\,dt$

역사

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관련된 항목들

오일러 치환

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http://mathworld.wolfram.com/TrigonometricSubstitution.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

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