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벡터의 외적(cross product)

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 다변수미적분학의 기본개념 중 하나

  • 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산

  • 두 벡터 \mathbf{a}, \mathbf{b}의 외적 \mathbf{a}\times\mathbf{b}는 \mathbf{a}, \mathbf{b}에 각각 수직이며, 크기가 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta인 벡터가 된다

  • 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨

 

 

 

정의

  • 단위벡터 \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)

  • 두 벡터 \mathbf a = (a_1, a_2, a_3)과 \mathbf b = (b_1, b_2, b_3)에 대하여 다음과 같이 정의됨

    \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ \end{bmatrix}

    =(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)

 

 

성질

  • 겹선형성 (bilinearity)

  • \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})

  • \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0

  • 라그랑지 항등식

    |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}

  • 스칼라 삼중곱

    \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \ \end{vmatrix}

  • 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)

    \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}

  • 자코비 항등식

    \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}

 

 

사원수와의 관계
  • 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
  • \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3) 라 두고, 사원수 a+x_1i+x_2j+x_3k를 (a,\mathbf{x)}로 쓰자.
  • (a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})
  • 여기서 \times 는 3차원 벡터의 외적

 

 

외적의 일반화

  • 다음과 같은 외적의 공리를 사용하여, 일반화하자.

    • 겹선형성(bilinearity)

    • \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0

    • 라그랑지 항등식 |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}

(정리) 이 세 조건을 만족시키는 \mathbb{R}^{n} 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, n=1,3,7 이 성립한다.

(증명)

[Massey1983], [Walsh1967] 참조

\mathbb{R}^{n} 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는  이항연산 x 가 존재한다고 하자.

\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\} 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.

(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})

그러면 다음의 사실들을 확인할 수 있다.

겹선형성(bilinearity)

항등원의 존재 (1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}

곱셈의 norm 보존 |(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2

그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리(1,2,4,8 과 1,3,7 항목 참조) 로부터 n=1,3,7 을 얻는다. ■

 

 

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