벡터의 외적(cross product)

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벡터의 외적

개요

다변수미적분학의 기본개념 중 하나
삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산
두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 의 외적 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 는 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 에 각각 수직이며, 크기가 $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta$ 인 벡터가 된다
벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨

정의

단위벡터 $\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)$
두 벡터 $\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)$ 과 $\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)$ 에 대하여 다음과 같이 정의됨

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ \end{bmatrix}$

성질

겹선형성 (bilinearity)
$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})$
$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0$
라그랑지 항등식

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}$
스칼라 삼중곱

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \ \end{vmatrix}$

벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$

자코비 항등식

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}$

사원수와의 관계

사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 라 두고, 사원수 를 $(a,\mathbf{x)}$ 로 쓰자.
$(a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})$
여기서 $\times$ 는 3차원 벡터의 외적

해밀턴의 사원수(quarternions) 항목 참조

외적의 일반화

다음과 같은 외적의 공리를 사용하여, 일반화하자.
- 겹선형성(bilinearity)
- $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0$
- 라그랑지 항등식 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}$

(정리) 이 세 조건을 만족시키는 $\mathbb{R}^{n}$ 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, n=1,3,7 이 성립한다.

(증명)

[Massey1983], [Walsh1967] 참조

$\mathbb{R}^{n}$ 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는 이항연산 x 가 존재한다고 하자.

$\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}$ 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.

$(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})$

그러면 다음의 사실들을 확인할 수 있다.

겹선형성(bilinearity)

항등원의 존재 $(1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}$

곱셈의 norm 보존 $|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2$

그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리(1,2,4,8 과 1,3,7 항목 참조) 로부터 n=1,3,7 을 얻는다. ■

메모

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085

역사

Josiah Willard Gibbs published a treatise on vector algebra which included a definition of the vector dot product and vector cross product.
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=vector+cross+product
수학사연표

수학용어번역

발음사전 http://www.forvo.com/search/hurwitz

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/외적
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product
http://www.wolframalpha.com/input/?i=

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