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오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

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개요

  • 오일러의 오각수정리

    \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}

    (1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots

  • 세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음(자코비 세타함수의 삼중곱 공식 참조)

     

    \sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)

  • 분할수 p(n)의 생성함수의 역이다

    \sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1}

 

 

오각수

pentagonal-numbers.gif

  • 1, 5, 12, 22, 35,...

    \frac{n(3n-1)}{2}

 

 

일반화된 오각수

  • (1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots에 등장하는 수

  • k=\frac{j(3j\pm 1)}{2} 꼴로 주어짐 (j=1,2,3\cdots)

 

 

증명

  • 자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다

  • 삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조

(증명)

\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}

q=x^{3/2}, z=-x^{1/2}로 두면, 다음을 얻는다

\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)

\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}■

 

 

 

데데킨트 에타함수

  • 위의 급수에 q^{1/24}를 곱하면, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다

     

    \eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}

    여기서  q=e^{2\pi i\tau}.

  • 데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다

 

 

 

역사

 

 

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