L-함수, 제타함수와 디리클레 급수

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L-함수, 제타함수와 디리클레 급수

개요

리만제타함수의 일반화
디리클레 L-함수는 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하는데 사용됨
디리클레 class number 공식, Birch and Swinnerton-Dyer 추측 등 정수론의 중요한 주제
수체(number field)에 대해 정의되는 데데킨트 제타함수

정의

복소수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$
예
- 모든 에 대하여, 인 경우, 리만제타함수를 얻게 됨
- $a_{4n+1}=1$ , $a_{4n+3}=-1$ , $a_{4n}=a_{4n+2}=0$ 인 경우 디리클레 베타함수를 얻게 됨
중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
- 해석적확장(analytic continuation)
- 함수방정식
- 오일러곱
- (추측)일반화된 리만가설
중요한 문제들
- 해석적확장의 개념적 이해
- 정수에서의 special values
- 에서의 유수
- 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
- 일반화된 리만가설

리만제타함수

리만제타함수 항목 참조

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ , 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1">

디리클레 L-함수

준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여, 다음과 같이 정의함.

$L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}$ , $\mathfrak{R}(s)>1$
디리클레 L-함수 항목 참조

데데킨트 제타함수

수체 에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

$\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$

여기서 $a_{n}$ 은 $N(\mathfrak{a})=n$ 을 만족시키는 integral ideal의 개수

Hecke L-함수

타원곡선의 L-함수

타원곡선 항목에서 가져옴
Hasse-Weil 제타함수라고도 함
타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨

$L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}$

여기서

$L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right$
여기서 는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수
Birch and Swinnerton-Dyer 추측 항목 참조

모듈라 형식의 L-함수

모듈라 형식(modular forms) f에 대응되는 L-함수

$f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}$

$L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$

아틴 L-함수

대수적다양체와 제타함수

대수적다양체의 제타함수

$Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})$

역사

수학사연표
1920 Eric Hecke analytic continuation of L-functions of number fields

메모

Reference request: L-series and ζ-functions

http://wain.mi.ras.ru/zw/
Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds
- A Borel - Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.(4), 1981

Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions
- Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월

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L-함수, 제타함수와 디리클레 급수

관련된 항목들

수학용어번역

대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series
http://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_character
http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions

관련링크와 웹페이지

리뷰논문, 에세이, 강의노트

P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer