카탈란 상수

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카탈란 상수

개요

정의

$G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots$

여기서 $\beta(s)$ 는 디리클레 베타함수
많은 정적분에 등장함

적분표현

로바체프스키와 클라우센 함수

$\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}$

$\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G$

이로부터 다음을 알 수 있다

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}$
그 밖의 정적분 표현

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G$

$G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt$

$G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy$

$G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt$

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G$
dilogarithm 함수

타원적분과 카탈란

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$\int_0^1 K(k) \,dk=2G$
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)

$\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G$

라이프니츠 급수와의 비교

라이프니츠 급수

$1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}$

오일러-맥클로린 공식을 통한 계산

오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자

$G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}$

다이머 모형(dimer model)

사각격자에서의 다이머(dimer) 엔트로피는 상수 $G/\pi$ 를 사용하여 표현됨

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Last edited on 04/26/2011 07:01 by 피타고라스

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