디리클레 베타함수

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디리클레 베타함수

개요

정의

$\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}$
$\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ , $\chi(1)=1$ , $\chi(-1)=-1$ 인 경우의 디리클레 L-함수

$L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1$
함수방정식

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)$ 라 두면

$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ 를 만족
함수방정식에 대한 일반적인 정리는 디리클레 L-함수 참조

Special values

아래에서 은 오일러수를 뜻함.

,,,,, $E_{10} = −50,521$ , $E_{12} = 2,702,765$ , $E_{14} = −199,360,981$ , $E_{16} = 19,391,512,145$ , $E_{18} = −2,404,879,675,441$
$k\geq 0$ 인 정수일 때,

$\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}$
$k\geq 0$ 인 정수일 때,

$\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}$

$\beta(0)= \frac{1}{2}$

$\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}$

$\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}$

$\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}$

$\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}$

$G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots$
- 카탈란상수로 많은 정적분에 등장함

증명

정수에서의 리만제타함수의 값 에서 사용한 방식을 모방한다.

$\beta(5)$ 의 경우를 예로 구해보자.

$\oint_{C_{R}}\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}dz$

$C_{R}$ 는 원점을 중심으로 반지름이 인 원

이때 이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자.

정수 2k+1 에 대하여 $z\approx 2k+1$ 이면, $\pi/2 \sec \pi z/2 \approx \frac{(-1)^{k+1}}{z-(2k+1)}$

$\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}$ 의 정수 2k+1 에서의 유수(residue)는 $(-1)^{k+1}\frac{1}{(2k+1)^{5}}$ 로 주어진다.

$\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}$ 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수 참조

를 이용하면 0 에서의 유수는 $\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}$ 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 $0=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^{5}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n}}{(2n-1)^{5}}=\frac{5\pi^5}{768}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{5}}$

따라서 $\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}$

일반적인 자연수 에 대하여도 마찬가지 방법으로

$\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}$

을 얻는다.

또한 함수방정식으로부터 $\beta(0)=\frac{1}{2}$ 와 나머지 짝수인 음의 정수에서의 값을 구할 수 있음

special values for derivative $\beta'(1)$

$\beta'(1)$ 의 값
후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음

$\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}$
후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 의 에르미트 표현

$\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}$
미분은 다음과 주어짐

$\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}$

$\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}$
함수방정식

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)$

$\Lambda'(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}(-\frac{1}{2}\log{\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{s+1}{2})\beta(s)+(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta'(s)$

$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

$\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)$ 을 이용하면 $\beta'(0)$ 과 $\beta'(1)$ 의 관계를 찾을 수 있다

$\Lambda'(0)=(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln{\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1}{2})\beta(0)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma'(\frac{1}{2})\beta(0)+(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma(\frac{1}{2})\beta'(0)$

$=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\frac{\sqrt{\pi}}{2}+\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma'(\frac{1}{2})\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\beta'(0)$

$=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\ln 2 -\frac{\gamma}{2}+2\beta'(0)$

$\Lambda'(1)=(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln{\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta(1)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{1+1}{2})\beta(1)+(\frac{\pi}{4})^{-{(1+1)}/{2}}\Gamma(\frac{1+1}{2})\beta'(1)$

$=(\frac{4}{\pi})\ln(\frac{2}{\sqrt{\pi}})\Gamma(1)\beta(1)+\frac{1}{2}\frac{4}{\pi}\Gamma'(1)\beta(1)+\frac{4}{\pi}\Gamma(1)\beta'(1)$

$=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)$

(* Digamma 함수 의 값을 이용하였음

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\Gamma'(1)=-\gamma$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}= -2\ln{2} - \gamma$

$\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)$ *)

$\beta'(0)$ 과 $\beta'(1)$ 의 관계

$-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)$

$\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})$

$=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})$

따라서

$\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})$

더 일반적인 경우에 대해서는 L-함수의 미분 참조

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