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오일러수

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간단한 소개

오일러수 은 다음과 같이 정의됨

$\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!$

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}$
처음 몇 오일러수는 다음과 같음

,,,,, $E_{10} = −50,521$ , $E_{12} = 2,702,765$ , $E_{14} = −199,360,981$ , $E_{16} = 19,391,512,145$ , $E_{18} = −2,404,879,675,441$

재미있는 사실

$4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi$

$\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots$

좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐

$4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)$

여기서 $|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}$

따라서 $N=10^{l}$ 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 $2E_{2(M+1)}$ 과 $10^{2l}$ 의 자릿수가 엇비슷해지는 을 찾았을때 k=M 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 (2M+1)l 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

예)

N=10^2 인 경우, 2E_6 가 네자리 수이므로, M=2 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

$4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots$

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

예)

N=10^3 인 경우, $2E_{10}$ 이 여섯자리 수이므로, M=4 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

$4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots$

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

예)

N=10^4 인 경우, $E_{12}$ 가 일곱자리 수이므로, M=5 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

$4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots$

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

3.1413926535917932383626433954795001141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.

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관련논문

Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=Euler+numbers

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