베르누이 다항식

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개요

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}

B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}

여기서 B_k 는 베르누이 수

 

 

베르누이수와 베르누이 다항식

 

 

예

B_0(x)=1

B_1(x)=x-1/2

B_2(x)=x^2-x+1/6

B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x

B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}

B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x

B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}

베르누이 다항식 B_k (x)  는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)

\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)

 

 

곱셈공식

B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)

 

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