벡터의 내적

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벡터의 내적

개요

정의

두 n차원 벡터 $\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ 과 $\mathbf b = (b_1, b_2, \cdots , b_n)$ 에 대하여, 내적은 다음과 같이 정의된다

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

코사인 법칙으로부터의 유도

삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인 각에 대하여, 나머지 한변의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있음

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta$

(정리) 내적에 관한 다음 공식을 통해, 두 벡터간의 각도 $\theta$ 를 쉽게 계산할 수 있음

$\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta$

(증명)

일반적인 경우, $\mathbf a ,\mathbf b,\mathbf a - \mathbf b$ 세 벡터는 삼각형을 이룬다.

$a= |\mathbf a|$ , $b=|\mathbf b|$ , $c=|\mathbf a - \mathbf b|$ 로 두자.

$c^2-a^2-b^2=|\mathbf a - \mathbf b| ^2-|\mathbf a|^2 -|\mathbf b|^2 =(\mathbf a - \mathbf b)\cdot(\mathbf a - \mathbf b)-(\mathbf a \cdot \mathbf a)-(\mathbf b \cdot \mathbf b)=-2\mathbf a \cdot \mathbf b$

코사인법칙으로부터 $\mathbf a \cdot \mathbf b = ab\cos\theta= |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta$ 를 얻는다.

삼각형에의 응용

원점과 두 벡터 $\mathbf a = (2,1)$ , $\mathbf b = (1,3)$ 로 이루어진 삼각형의 원점에서의 각의 크기
코사인법칙과 벡터의 내적을 통한 방법의 비교

역사

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