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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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단진자의 주기와 타원적분

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 길이가 \ell인 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐

    {d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0

    (여기서 g는 중력가속도)

  • 비선형 미분방정식이며, 대학수준의 역학에서는 \theta가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \sin\theta\approx \theta 임을 이용하여 다음과 같은 미분방정식으로 대체한다

    d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0

    이 때 단진자의 주기는 2\pi\sqrt\frac{\ell}{g} 로 주어진다

  • 근사가 아닌 원래 미분방정식에 대한 진자의 주기를 구하기 위해서는, 타원적분 이 필요하다

 

 

 

단진자의 주기

  • 진폭이 \theta_0인 단진자의 주기는 다음과 같다

    T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi. 여기서 k=\sin\frac{\theta_0}{2}

(증명)

진자의 속도는 {d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta

여기서 A=\sqrt{1-\cos\theta_0} 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자.

\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2

그러면,

\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi

\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}

\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi 를 얻는다.

주기를 구하면,

T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi

A=\sqrt{2}k로 두면,

T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi를 얻는다. ■

 

 

제1종 타원적분과의 관계

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

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