단진자의 주기와 타원적분

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개요

 

 

 

단진자의 주기

(증명)

진자의 속도는 {d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)} 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta

여기서 A=\sqrt{1-\cos\theta_0} 로 두고, 다음과 같은 치환을 사용하자.

\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2

그러면,

\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi

\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}

\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi 를 얻는다.

주기를 구하면,

T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin^2\phi}}\,d\phi

A=\sqrt{2}k로 두면,

T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\,d\phi를 얻는다. ■

 

 

제1종 타원적분과의 관계

 

 

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