르장드르 카이 함수

Edit

이 항목의 스프링노트 원문주소

르장드르 카이 함수

개요

정의

$\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}$

$\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]$

Dilogarithm 함수
polylogarithm 함수

$\chi_2(z) =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}$

(증명)

$\chi_2(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_2(z) - \operatorname{Li}_2(-z)\right]=-\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (1-t)}\over t} dt +\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (1+t)}\over t} dt =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}$ ■

성질

$\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})$

(증명)

$\frac{d}{dz}[\chi_2(\frac{1-z}{1+z})] = \frac{1}{2}{{\log (\frac{1+\frac{1-z}{1+z}}{1-\frac{1-z}{1+z}})(\frac{1+z}{1-z})(\frac{1-z}{1+z})'=\frac{\log z}{1-z^2}$

양변을 적분하면, 즉 $\int_0^z \cdots {dz}$ 을 씌우면,

$\chi_2(\frac{1-z}{1+z})-\chi_2(1) =\int_0^z \frac{\log z}{1-z^2}\,dz=\frac{1}{2}\log z \log (\frac{1-z}{1+z})-\frac{1}{2}\int_0^z \log (\frac{1+z}{1-z})\frac{dz}{z}$

$\chi_2(z) =\frac{1}{2}\int_0^z{{\log (\frac{1+t}{1-t})\frac{dt}{t}$ 와 $\chi_2(1) = \frac{\pi^2}{8}$ 를 이용하면,

$\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})$ 를 얻는다. ♥

dilogarithm 항등식과의 관계

dilogarithm 함수의 곱셈공식

$\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))$
$\nu=2$ 인 경우의 르장드르 카이 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다

$\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]=\operatorname{Li}_2(z) - \frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(z^2)$
special value의 계산으로부터 dilogarithm 항등식 을 얻을 수 있다

special values

$\chi_2(i) = iG$ , 는 카탈란 상수

$\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}$

$\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}$

$\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}$

$\chi_2(-1) = -\frac{\pi^2}{8}$

$\chi_2(1) = \frac{\pi^2}{8}$

special value의 계산

$\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}=\frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$

Dilogarithm 함수에서 얻어진 다음 두 결과를 이용

$\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\chi_2(\sqrt2 -1) = \frac{\pi^2}{16}-\frac{\ln^2(\sqrt{2}+1)}{4}$

위에서 증명한 다음 성질을 이용

$\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})$

$z=\sqrt2 -1$ 로 두면, 원하는 결과를 얻는다.

(* 또는 Dilogarithm 함수에서 얻은 다음 결과를 이용

$2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}-1)-\frac{\pi^2}{4}=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$ *)

$\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}$

위에서 증명한 다음 성질을 이용

$\chi_2(\frac{1-z}{1+z})+\chi_2(z) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log z\log (\frac{1+z}{1-z})$

$z=\frac{\sqrt5 -1}{2}$ 로 두면, $\frac{1-z}{1+z}=z^3=\sqrt{5}-2$ , $z^{-3}=\sqrt{5}+2$

$\chi_2(\sqrt{5}-2)+\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) =\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log (\frac{\sqrt5 -1}{2})\log (\sqrt{5}+2)$

앞에서 얻은 $\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$ 를 이용하자.

$\chi_2(\sqrt{5}-2)=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\log (\frac{\sqrt5 -1}{2})\log (\sqrt{5}+2)-\frac{\pi^2}{12}+\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$

$=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{2}\log^2(\frac{\sqrt5 -1}{2})+\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$

$=\frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\log^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}$

재미있는 사실

디리클레 베타함수

$\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}$
$\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$

$2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$

이 결과는 다음 정적분과 같음.

$\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$

(증명)

[오늘의계산080810]

$\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)=-\mbox{Li}_2(1-\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{1}{2} \ln^2(\sqrt{2})$

$=-[-\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})+\frac{\pi^2}{6}-\ln\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(1-\frac{1}{\sqrt{2}})]-\frac{1}{8} \ln^2 2$

$=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}+\ln\frac{1}{\sqrt{2}}\ln(1-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8} \ln^2 2$

$=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\ln{2}\ln({\sqrt{2}}-1)+\frac{1}{8} \ln^2 2$

$\mbox{Li}_2(\sqrt 2-1)=\mbox{Li}_2(1-(2-\sqrt 2))$

$=-\mbox{Li}_2(1-\frac{1}{2-\sqrt 2})-\frac{1}{2}\ln^2(2-\sqrt{2})$

$=-\mbox{Li}_2(1-\frac{2+\sqrt{2}}{2})-\frac{1}{2}\ln^2(2-\sqrt{2})$

$=-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\ln {2} + \ln(\sqrt{2}-1}))^2$

$=-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8}\ln^2 {2}-\frac{1}{2}\ln 2\ln(\sqrt{2}-1})-\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})$

$\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)=$

$=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})-\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\ln{2}\ln({\sqrt{2}}-1)+\frac{1}{8} \ln^2 2-(-\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{1}{8}\ln^2 {2}-\frac{1}{2}\ln 2\ln(\sqrt{2}-1})-\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1}))$

$=\mbox{Li}_2(\frac{1}{\sqrt 2})+\mbox{Li}_2(-\frac{1}{\sqrt{2}})-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})$

$=\frac{1}{2}\mbox{Li}_2\frac{1}{2}-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2 +\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})$

$=\frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\ln^2 2)-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} \ln^2 2+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})$

$=-\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{2}\ln^2(\sqrt{2}-1})$

따라서,

$2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}-1)-\frac{\pi^2}{4}=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$

메모

$\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx=\frac{\pi^2}{4}$

$\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}$

역사

수학사연표

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_chi_function
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://mathworld.wolfram.com/LegendresChi-Function.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions

블로그

[오늘의계산080810]오늘의 계산 12
- 수학 잡담/오늘의 계산, 2008/08/10
구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
네이버 오늘의과학
수학동아
Mathematical Moments from the AMS

History

Last edited on 06/18/2010 08:35 by 피타고라스

Comments (0)

Previous Next

Header

수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

home

All Pages

Updates

르장드르 카이 함수

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정의

성질

dilogarithm 항등식과의 관계

special values

special value의 계산

재미있는 사실

메모

역사

관련된 다른 주제들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서 및 추천도서

관련기사

블로그

History

Comments (0)

Bookmarks

What is a bookmark?

Header

수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

home

All Pages

Updates

르장드르 카이 함수

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

정의

성질

dilogarithm 항등식과의 관계

special values

special value의 계산

재미있는 사실

메모

역사

관련된 다른 주제들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서 및 추천도서

관련기사

블로그

History

Linked Page

Comments (0)

Create a new page

Change the location

Preview Template

Send a message to Members

Invite others to your Group Notebook

Bookmarks

What is a bookmark?

Please confirm your email address