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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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congruent number 문제

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개요
  • 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
  • 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
  • 주어진 n이 congruent number 인지를 판정하는 방법이 있으나, Birch and Swinnerton-Dyer 추측에 의존하고 있다  [Tunnell1983]

 

 

타원곡선과의 관계

(정리)

자연수 n 은 congruent number 이다

 \iff 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 이 y\neq0인 유리해를 갖는다.

 \iff 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 의 rank가 1이상이다.

(증명)

직각삼각형의 세 변의 길이가 a,b,c로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 n 이라 하자.

a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2

u=\frac{c}{2}, v=\frac{a^2-b^2}{4} 로 두자.

디오판투스 방정식 u^4-n^2=v^2 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

u^4-n^2=v^2에서 u^6-n^2u^2=u^2v^2 를 얻은 뒤, x=u^2, y=uv 로 두면, 타원곡선의 방정식 y^2=x^3-n^2x을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 a,b,c이고 그 넓이가 n인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  y^2=x^3-n^2x의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선  y^2=x^3-n^2x의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

y\neq0인 유리수해 (x,y) 에 대하여

a=|\frac{n^2-x^2}{y}|, b=|\frac{2nx}{y}|, c=|\frac{n^2+x^2}{y}|

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. 

한편 타원곡선 y^2=x^3-n^2x의 torsion은 \{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\} 뿐이므로, y\neq0인 유리수해 (x,y) 의 존재는 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■

 

 

n=1 의 경우

 

 

n=5인 경우

  • 5는 congruent number 이다

    •  세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
    • \frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}
    • 5는 가장 작은 congruent number이다

 

 

n=6인 경우

 

 

 

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관련도서

  • History of the Theory of Numbers Volume II

    • Leonard Eugene Dickson

    • Chapter XVI

Tags

디오판투스방정식,정수론,미해결

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Last edited on 01/20/2012 10:08 by 피타고라스

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