congruent number 문제

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개요

 

 

타원곡선과의 관계

(정리)

자연수 n 은 congruent number 이다

 \iff 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 이 y\neq0인 유리해를 갖는다.

 \iff 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 의 rank가 1이상이다.

(증명)

직각삼각형의 세 변의 길이가 a,b,c로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 n 이라 하자.

a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

(\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2

u=\frac{c}{2}, v=\frac{a^2-b^2}{4} 로 두자.

디오판투스 방정식 u^4-n^2=v^2 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

u^4-n^2=v^2에서 u^6-n^2u^2=u^2v^2 를 얻은 뒤, x=u^2, y=uv 로 두면, 타원곡선의 방정식 y^2=x^3-n^2x을 얻는다.

따라서 세 변의 길이가 a,b,c이고 그 넓이가 n인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  y^2=x^3-n^2x의 유리해를 얻는다.

그러면 역으로 타원곡선  y^2=x^3-n^2x의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

y\neq0인 유리수해 (x,y) 에 대하여

a=|\frac{n^2-x^2}{y}|, b=|\frac{2nx}{y}|, c=|\frac{n^2+x^2}{y}|

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. 

한편 타원곡선 y^2=x^3-n^2x의 torsion은 \{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\} 뿐이므로, y\neq0인 유리수해 (x,y) 의 존재는 타원곡선 y^2=x^3-n^2x 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■

 

 

n=1 의 경우

 

 

n=5인 경우

 

 

n=6인 경우

 

 

 

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