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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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원분체 (cyclotomic field)

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units
  • class field theory
  • Iwasawa theory

 

 

기호
  • \zeta_n는 원시 n-단위근
  • K = \mathbb Q(\zeta_n)

 

 

갈루아군

(정리)

G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times

 

(증명)

\wp \subset K 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \text{Gal}(K/\mathbb Q)의 원소로,  \sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp 를 만족시킨다.

\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

 

 

디리클레 class number 공식과의 관계

\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}

 

 

class number
  • K = \mathbb Q(\zeta_n) 의 class number h_K
  • K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}
  • h_K=h_K^{+}h_K^{-}
  • h_K^{-}를 relative class number라 한다

 

 

메모

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

  • Explicit elliptic units, I

    • Farshid Hajir and Fernando Rodriguez Villegas, Duke Math. J. Volume 90, Number 3 (1997), 495-521.
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서

  • Introduction to Cyclotomic Fields

    • Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982

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Last edited on 05/01/2012 14:22 by 피타고라스

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