원분체 (cyclotomic field)

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원분체 (cyclotomic field)

개요

크로네커-베버 정리
cyclotomic units
class field theory
Iwasawa theory

기호

$\zeta_n$ 는 원시 n-단위근
$K = \mathbb Q(\zeta_n)$

갈루아군

(정리)

$G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$

(증명)

$\wp \subset K$ 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 $\text{Gal}(K/\mathbb Q)$ 의 원소로, $\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp$ 를 만족시킨다.

$\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b$ 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

유한생성 아벨군의 기본정리

원분체의 데데킨트 제타함수

$K = \mathbb Q(\zeta_n)$ 에 대한 데데킨트 제타함수

$\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}$
제타함수의 분해

$\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)$ 로부터 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 를 얻을 수 있다
자세한 내용은 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조

디리클레 class number 공식과의 관계

$\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}$

class number

$K = \mathbb Q(\zeta_n)$ 의 class number
$K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}$
$h_K=h_K^{+}h_K^{-}$
$h_K^{-}$ 를 relative class number라 한다

메모

Barry Mazur How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields? Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.
http://arxiv.org/abs/1202.5777

역사

수학사연표

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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