베버(Weber) 모듈라 함수

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베버(Weber) 모듈라 함수

개요

베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
class field theory에서 중요한 역할

정의

$\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})$

$\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})$

$\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})$

$\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}$

$\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_1(z)^8 - \mathfrak{f}_2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}$

여기서 $\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$ 는 데데킨트 에타함수

항등식

$\mathfrak{f}_1(2\tau)\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt2$
$\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_1(\tau)\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt2$
$\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_1(\tau)^8+\mathfrak{f}_2(\tau)^8$

모듈라 성질

$\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_1(\tau)$
$\mathfrak{f}_1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)$
$\mathfrak{f}_2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_2(\tau)$
$\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)$
$\mathfrak{f}_1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_2(\tau)$
$\mathfrak{f}_2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_1(\tau)$

j-invariant 와의 관계

타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)
$\mathfrak{f}(\tau)^{24}$ , $-\mathfrak{f}_1(\tau)^{24}$ , $-\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}$ 는 $(x-16)^3-j(\tau)x=0$ 의 근이다

special values

$\mathfrak{f}(i)^8=4$
$\mathfrak{f}_1(i)^8=2$
$\mathfrak{f}_2(i)^8=2$
$\mathfrak{f}_1(2i)^8=8$

데데킨트 에타함수와의 관계

$f(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})$

$f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})$

$f_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})$

여기서 $\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$ 는 데데킨트 에타함수

q-초기하급수와의 관계

q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식

$\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n$

$z=q^{1/2}$ 인 경우

$\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$

$\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}$

인 경우

$\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$
위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다

$\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}$

$\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

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메모

수학용어번역

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대한수학회 수학 학술 용어집
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사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=