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갈루아 이론

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개요
  • 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
  • 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
  • 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
  • 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
  • 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음

 

 

근의 공식

 

 

풀수 있는 방정식

  • 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 z^4+z^3+z^2+z^1+1=0을 풀 수 있는지가 설명되어 있음

  • 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.

    • 이를 위하여 z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
    • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

 

 

근의 치환

 

 

다항식과 갈루아체확장

  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음

  • 유리수체 \mathbb{Q}에서 정의된 다항식 x^3-2=0

  • 해는 \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2} 세 개가 존재

  • 유리수체 \mathbb{Q}에 \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}를 집어넣으면 유리수체의 확장 K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}) 를 얻음

  • 이 때, 체 K는 유리수체 \mathbb{Q}위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 [K : \mathbb{Q}]=6이 됨

 

 

체확장과 갈루아군

  • 체 F와 그 체확장 K에 대하여 군 \text{Gal}(K/F)을 정의할 수 있음

    • \text{Gal}(K/F)는 체K의 자기동형사상 중에서 체F를 변화시키지 않는 원소들의 모임

    • 자기동형사상이란 K에서 K에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수

  • 예) 복소수체 \mathbb{C} 는 실수체 \mathbb{R}의 체확장

    • 방정식 x^2+1=0 의 해\{i,-i\}를 실수체 \mathbb{R}에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \mathbb{C} 를 만듦

    • \text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\} 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 z에 대하여 \operatorname{id}(z)=z과 \sigma(z)=\bar{z}로 정의됨

    • \sigma(z)=\bar{z} 이므로 실수체 \mathbb{R}의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다

 

 

 

방정식의 해가 가진 대칭성

  • \text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}의 경우 \sigma는  복소수체의 실수체 \mathbb{R}의 원소를 변화시키지 않음.

    • \sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i에서 방정식 x^2+1=0의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음

  • 이것을 일반화할 수 있음

 

 

 

(정리)

 

주어진 체 F에 대하여, F의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0의 해이면,  위에서처럼 해\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n를 모두추가하여 만든 체확장 K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)의 갈루아군 \text{Gal}(K/F) 의 원소 \sigma에 대하여 \sigma(\alpha) 도 같은 방정식의 해가 된다.

 

 

예

  • 위에서 본 유리수체\mathbb{Q}의 확장 K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})

  • 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \sqrt[3]{2}와 \omega를 어디로 보내는가에 따라 결정

  • \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2} 는 유리계수방정식 x^3-2=0의 해이고, \omega와 \omega^2는  유리계수방정식 x^2+x+1=0의 해이기 때문

  \operatorname{id} \tau \tau^2 \sigma \sigma\tau \sigma\tau^2
\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{2} \omega\sqrt[3]{2} \omega^2\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{2} \omega^2\sqrt[3]{2} \omega\sqrt[3]{2}
\omega \omega \omega \omega \omega^2 \omega^2 \omega^2

  • \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2} 가 같이 움직이고,\omega와 \omega^2가 같이 움직임을 볼 수 있음

  • \text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}이 됨

  • 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재

  • \text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\} 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다

    • 표를 이용하면 \sigma\tau^2=\tau\sigma 임을 알 수 있음

    • \tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}이고, \tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2 이므로  \sigma\tau^2=\tau\sigma

    • 따라서 \sigma\tau\neq\tau\sigma 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음

    • 그러므로 \text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3

  • 요약

    • 방정식 x^3-2=0 으로부터 체확장 K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})을 얻었고, \text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\} 를 얻었음
    • \text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\} 의 원소들이 \sqrt[3]{2}와 \omega 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.

 

 

갈루아 체확장

 

 

5차방정식에의 응용

f(x)=2x^5-5x^4+5 is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is S_5.

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

교양도서

 

 

관련도서 및 추천도서

  • Classical Galois theory: with examples

    • Lisl Gaal 1998 

  • Galois Theory

    • Harold M. Edwards (1984),  Springer-Verlag

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Last edited on 01/11/2012 04:12 by 피타고라스

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Comments (1)

  • llllllll

    와!!!!잘보았습니다 ㅠㅠ 눈물이 다 나올라구함........

    01/02/2011 05:45
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