갈루아 이론

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갈루아 이론

개요

군론을 통한 체론(field theory)의 이해
체확장과 갈루아군의 개념이 필요
대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음

근의 공식

2차 방정식의 근의 공식

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
3차, 4차 방정식의 근의 공식
$\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots$

풀수 있는 방정식

정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
- 이를 위하여 $z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0$ 의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
- 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

근의 치환

일반적으로 대칭군 (symmetric group)의 부분군을 치환군이라 부른다
방정식과 대칭성 : 치환군

다항식과 갈루아체확장

(기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
유리수체 $\mathbb{Q}$ 에서 정의된 다항식
해는 $\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 세 개가 존재
유리수체 $\mathbb{Q}$ 에 $\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 를 집어넣으면 유리수체의 확장 $K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})$ 를 얻음
이 때, 체 는 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 $[K : \mathbb{Q}]=6$ 이 됨

체확장과 갈루아군

체 와 그 체확장 에 대하여 군 $\text{Gal}(K/F)$ 을 정의할 수 있음
- $\text{Gal}(K/F)$ 는 체의 자기동형사상 중에서 체를 변화시키지 않는 원소들의 모임
- 자기동형사상이란 에서 에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
예) 복소수체 $\mathbb{C}$ 는 실수체 $\mathbb{R}$ 의 체확장
- 방정식 의 해 $\{i,-i\}$ 를 실수체 $\mathbb{R}$ 에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 $\mathbb{C}$ 를 만듦
- $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 에 대하여 $\operatorname{id}(z)=z$ 과 $\sigma(z)=\bar{z}$ 로 정의됨
- $\sigma(z)=\bar{z}$ 이므로 실수체 $\mathbb{R}$ 의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다

방정식의 해가 가진 대칭성

$\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}$ 의 경우 $\sigma$ 는 복소수체의 실수체 $\mathbb{R}$ 의 원소를 변화시키지 않음.
- $\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i$ 에서 방정식 의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
이것을 일반화할 수 있음

(정리)

주어진 체 에 대하여, 의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ 의 해이면, 위에서처럼 해 $\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n$ 를 모두추가하여 만든 체확장 $K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 의 갈루아군 $\text{Gal}(K/F)$ 의 원소 $\sigma$ 에 대하여 $\sigma(\alpha)$ 도 같은 방정식의 해가 된다.

증명은 방정식과 대칭성 항목을 참조

예

위에서 본 유리수체 $\mathbb{Q}$ 의 확장 $K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})$
위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 $\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega$ 를 어디로 보내는가에 따라 결정
$\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 는 유리계수방정식 의 해이고, $\omega$ 와 $\omega^2$ 는 유리계수방정식 의 해이기 때문

	$\operatorname{id}$	$\tau$	$\tau^2$	$\sigma$	$\sigma\tau$	$\sigma\tau^2$
$\sqrt[3]{2}$	$\sqrt[3]{2}$	$\omega\sqrt[3]{2}$	$\omega^2\sqrt[3]{2}$	$\sqrt[3]{2}$	$\omega^2\sqrt[3]{2}$	$\omega\sqrt[3]{2}$
$\omega$	$\omega$	$\omega$	$\omega$	$\omega^2$	$\omega^2$	$\omega^2$

$\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$ 가 같이 움직이고, $\omega$ 와 $\omega^2$ 가 같이 움직임을 볼 수 있음
$\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$ 이 됨
한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
- 크기가 6인 순환군
- 3개 원소로 이루어진 집합의 대칭군 (symmetric group)은 개의 원소를 가짐
$\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$ 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
- 표를 이용하면 $\sigma\tau^2=\tau\sigma$ 임을 알 수 있음
- $\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}$ 이고, $\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2$ 이므로 $\sigma\tau^2=\tau\sigma$
- 따라서 $\sigma\tau\neq\tau\sigma$ 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
- 그러므로 $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3$
요약
- 방정식 으로부터 체확장 $K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})$ 을 얻었고, $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$ 를 얻었음
- $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}$ 의 원소들이 $\sqrt[3]{2}$ 와 $\omega$ 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.

갈루아 체확장

transitivity와 fixed point free action 또는 $\text{Gal}(K/F)=|K:F|$
유한체
원분체 (cyclotomic field) 와 원분다항식(cyclotomic polynomial)

5차방정식에의 응용

f(x)=2x^5-5x^4+5 is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is S_5 .

역사

수학사연표

메모

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

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