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3차 방정식의 근의 공식

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개요
  • 삼차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0 의 근의 공식

 

 

카르다노의 해법

주어진 방정식 x^3+ax^2+bx+c=0의 2차항을 없애기 위해,  다음과 같은 치환을 사용한다.

x = t - a/3

새로운 방정식 t^3 + pt + q = 0을 얻는다. 여기서

p = b - \frac{a^2}3 이고 q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}

새로운 두 변수 u,v를 도입하자.

u + v = t, uv = -p/3

다음 두 식을 만족시킨다.

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (1)

3uv+p=0

 

식 (1)의 양변에 u^3를 곱하여, 이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0 \quad (2)

u^3에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}

한편, v^3 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다.

v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}

 

u, v는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

 

\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}, \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

여기서 \omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i.

 uv = -p/3 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다.

편의를 위해, 다음과 같이 A,B를 두자.

A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}, B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

t=u+v의 값은 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

A+B

\omega A+\omega^2 B

\omega^2 A+\omega B

 

 

x^3-3x+1의 예
  • 방정식 x^3-3x+1=0 을 생각하자.

  • p=-3,q=1 이므로,

    -{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}

    -{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}

  • A=e^{2\pi i/9}, B=e^{-2\pi i/9}, \omega=e^{2\pi i /3}
  • 방정식의 세 근은 A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B 는 2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right) 가 된다.

 

 

ax^3+bx^2+cx+d=0의 근의 공식

\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}

 

 

역사

 

 

메모

u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}

 

 

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