3차 방정식의 근의 공식

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3차, 4차 방정식의 근의 공식

개요

삼차방정식 의 근의 공식

카르다노의 해법

주어진 방정식 x^3+ax^2+bx+c=0 의 2차항을 없애기 위해, 다음과 같은 치환을 사용한다.

x = t - a/3

새로운 방정식 t^3 + pt + q = 0 을 얻는다. 여기서

$p = b - \frac{a^2}3$ 이고 $q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}$

새로운 두 변수 u,v를 도입하자.

u + v = t , uv = -p/3

다음 두 식을 만족시킨다.

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (1)$

3uv+p=0

식 (1)의 양변에 u^3 를 곱하여, 이로부터 u가 만족시키는 다음 방정식을 얻는다.

$u^6 + qu^3 - {p^3\over 27} = 0 \quad (2)$

u^3 에 대한 이차방정식이므로, 다음을 얻는다.

$u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}$

한편, v^3 역시 방정식 (2)의 해이므로, 다음을 얻는다.

$v^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}$

u, v는 다음 여섯개의 값 중 하나를 가질 수 있다.

$\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$ , $\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$ , $\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$ , $\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$ , $\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

여기서 $\omega=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i$ .

uv = -p/3 임을 이용하면 u에 의해 v의 값이 결정된다.

편의를 위해, 다음과 같이 A,B를 두자.

$A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$ , $B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

t=u+v 의 값은 다음 세 개의 값을 가질 수 있다.

A+B

$\omega A+\omega^2 B$

$\omega^2 A+\omega B$

의 예

방정식 을 생각하자.
이므로,

$-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{2\pi i/3}$

$-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}=-\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}=e^{-2\pi i/3}$
$A=e^{2\pi i/9}$ , $B=e^{-2\pi i/9}$ , $\omega=e^{2\pi i /3}$
방정식의 세 근은 $A+B,\omega A+\omega ^2B,\omega ^2A+\omega B$ 는 $2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-2 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right),2 \sin \left(\frac{\pi }{18}\right)$ 가 된다.

의 근의 공식

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic+formula

$\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}$

역사

1545년 카르다노가 'Ars Magna' 를 출판
수학사연표

메모

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$ , $\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$ , $\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}, \left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} , \left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolvents
http://en.wikipedia.org/wiki/cubic_equation