순환 체확장(cyclic extension)

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간단한 소개

 

(정리)

F가 primitive n-th root of unity }\zeta_n를 포함한다 하자.(가령 F가 복소수체를 포함하는 경우)

K가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 a\in F 가 존재하여, K= F(a)와 a^n\in F 를 만족시킨다.

 

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\text{Gal}(K/F) 가 \sigma에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

K에 정의된 (F-)선형사상 \tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i는 \{\sigma^i\}의 선형독립성에 의하여,  0이 아니다.

따라서 \tau(b)\in K\neq 0  인 b\in K가 존재한다. 

a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)로 두면,

 \sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a

따라서 [F(a):F]\geq n 임을 알 수 있고, [K:F]=n으로부터 K= F(a)를 얻는다.

한편  \sigma(a)=\zeta_n^{-1}a 이므로, \sigma(a^n)=}a^n이 된다. 따라서 a^n\in F. ■

 

 

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