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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식

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개요

  • Epstein 제타함수

    E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} , \tau = x + iy (y > 0)

 

 

 

이차형식과 제타함수

  •  

  • 이차형식

    |m\tau+n|^{2}=

  • \tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a} 인 경우 ( -\Delta=|\Delta| )

    E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)

    \zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)

    크로네커 극한 공식을 적용하면, 

    \zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2))+O(s-1)

    =(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|}))- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)

    여기서 

    \tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}, y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}

     

 

 

(따름정리)

판별식이 같은 즉 m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2 인 두 양의정부호 이차형식 Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2와  Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2 에 대하여,

\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}이 성립한다.

여기서 

\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}, \omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}

 

 

라마누잔 class invariants 와의 관계

Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2와 Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2, m=2ac에 대하여 위의 따름정리를 적용하면, 

\tau=i\sqrt\frac{{2c}}{a}, \omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}

\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}

 

 

 

역사

 

 

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