Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식

이 항목의 스프링노트 원문주소

Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식

개요

Epstein 제타함수

$E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}$ , $\tau = x + iy$ ()

크로네커 극한 공식

$E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)$

$\gamma$ 는 오일러상수, 감마

$\eta(\tau)$ 는 데데킨트 에타함수
라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌

이차형식과 제타함수

이차형식

$|m\tau+n|^{2}=$

양의 정부호인 정수계수이차형식 (즉, $\Delta=b^2-4ac<0$ ) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의

$\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}$

$\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}$ 인 경우 ( $-\Delta=|\Delta|$ )

$E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)$

$\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)$

크로네커 극한 공식을 적용하면,

$\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2))+O(s-1)$

$=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|}))- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)$

여기서

$\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}$ , $y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}$

(따름정리)

판별식이 같은 즉 m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2 인 두 양의정부호 이차형식 Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2 와 Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2 에 대하여,

$\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}$ 이 성립한다.

여기서

$\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}$ , $\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}$

라마누잔 class invariants 와의 관계

Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2 와 Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2 , m=2ac 에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

$\tau=i\sqrt\frac{{2c}}{a}$ , $\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}$

$\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}$

여기서

$g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}$

$\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}$ 인 경우
라마누잔의 class invariants 참조

역사

수학사연표

메모

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=