데데킨트 제타함수

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데데킨트 제타함수

기호

수체
ideal class group

개요

수체 에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

$\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}$
예
- $K=\mathbb{Q}$ 인 경우, 리만제타함수를 얻음
전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, 에서 simple pole을 가진다
에서의 유수 (유수정리(residue theorem) ) 는 디리클레 class number formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula ) 로 주어진다

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}$

부분제타함수

각각의 ideal class $A\in C_K$ 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의

$\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}$
제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨

$\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)$
더 일반적으로 준동형사상 $\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음

$L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)$

이차수체의 데데킨트 제타함수

이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
이차수체 에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

$\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)$

위에서 사용된 기호들에 대한 설명

$\zeta(s)$ 는 리만제타함수

$L_{d_K}(s)$ 는 디리클레 L 함수(디리클레 L-함수 항목 참조)

$\chi$ 는 d_K 를 나누지 않는 소수 에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$

일반적으로 ${d_K}=d_1d_2$ 에 대응되는 genus character $\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}$ ( $\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}$ ) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
위의 경우는 ${d_K}=1\cdot d_K$ 에 해당

(정리)

$\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}$ ( $\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}$ )에 대하여

$L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)$

(증명)

$L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}$

원분체의 데데킨트 제타함수

special values

Klingen-Siegel 정리

F : totally real $[F: \mathbb{Q}]=n$ 이라 하자

적당한 유리수 $r(m)\in \mathbb{Q}$ 에 대하여

$\zeta_{F}(2m)=r(m)\sqrt{|d_{F}|}\pi^{2mn}$ ,

Zagier, Bloch, Suslin

$[K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2$
$\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}$

여기서 $\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)$ 는 Bloch group $B(K)\otimes \mathbb{Q}$ 의 Q-basis

D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수

복소이차수체의 경우

에서의 값
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 복소이차수체의 경우
  
  $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 7$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우
  
  $\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$
  
  $\chi(-1)=-1$ , $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$
  
  $L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}$
  
  $h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}$
  
  $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 5$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우
  
  $\chi(-1)=-1$ , $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$
  
  $L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}$
  
  $h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}$
에서의 값
- 복소이차수체의 경우
  
  $\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})$
  
  $\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))$
  
  여기서 는 Bloch-Wigner dilogarithm
에서의 $L_{d_K}'(1)$ 의 값
- L-함수의 미분
  
  $L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})$

역사

수학사연표

메모

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Hyperbolic volumes and zeta values An introduction
- Matilde N. Lalin

블로그

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수학동아
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