Chowla-셀베르그 공식

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Chowla-셀베르그 공식

개요

Epstein 제타함수에 대한 공식과 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에의 응용

Epstein 제타함수

양의 정부호인 정수 계수이차형식 (즉, $\Delta=b^2-4ac<0$ ) 에 대하여 다음과 같이 정의

$\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}$

제1종 타원적분

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) 에서는 다음과 같은 경우에 대하여, 타원적분의 값을 구체적으로 얻었다

$\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1$ 이면, $K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots$

$\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}$ 이면, $K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}$

$\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}$ 이면, $K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots$
lemniscate 곡선의 길이와 타원적분

$4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots$
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})$

$6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots$

Chowla-셀베르그의 정리

(정리)

$i\frac{K'}{K}(k)=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}$ 가 를 판별식으로 갖는 복소이차수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})$ 의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.

${K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}/{4h_{K}}}$ 여기서 $\lambda$ 는 적당한 대수적수.

Chowla-셀베르그의 정리의 특수한 경우

소수 p에 대하여, 복소이차수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 의 class number 가 1인 경우, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다.
$\frac{K'}{K}(k)=\sqrt{p}$ 를 만족시키는 k를 찾자.

$\frac{{K}(k)}{2\pi}=\frac{2^{1/3}(kk')^{-1/6}}{\sqrt{2\pi p}}\{\prod_{m=1}^{|d_K|}\Gamma(\frac{m}{|d_K|})^{\left(\frac{d_K}{m}\right)}\}^{w_{K}}$
인 경우

$\frac{{K}}{2\pi}=\frac{2^{2/3}}{\sqrt{6\pi}}(\frac{\Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(\frac{2}{3})})^{3/2}$
인 경우

$\frac{{K}}{2\pi}=\frac{2}{\sqrt{14\pi}}\sqrt{\frac{\Gamma(\frac{1}{7})\Gamma(\frac{2}{7})\Gamma(\frac{4}{7})}{\Gamma(\frac{3}{7})\Gamma(\frac{5}{7})\Gamma(\frac{6}{7})}}$

역사

수학사연표

메모

p-adic case Gross-Koblitz form

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Chowla-Selberg_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Sarvadaman_Chowla
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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