자코비의 네 제곱수 정리

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개요

 

 

세타함수

 

 

정리

(정리) 자코비의 네제곱수 정리

r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m

 

 

예

 

 

 

모듈라 형식을 이용한 증명

아래에서 q=e^{2\pi i \tau}, x=e^{\pi i \tau} 이다. 

\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n 이라 두자. 

세타함수의 데데킨트 에타함수 표현을 이용하자. (자코비 세타함수의 해당부분 참조)

\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}

\theta^4(\tau)=\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}

\theta^4(\tau)는 군 \Gamma(2)에 대한 weight 2인 모듈라 형식(modular forms)이다. 

한편 \frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}는 \Gamma(2)에 대한 모듈라 함수이다. 

적당한 상수 c에 대하여 다음 등식이 성립한다. 

\frac{d}{d\tau}\log \frac{\eta(2\tau)}{\eta(\frac{\tau}{2})}=c\frac{\eta(\tau)^{20}}{\eta(2\tau)^{8}\eta(\frac{\tau}{2})^{8}}=c\theta^4(\tau)

 

이제

\frac{\eta(2\tau)^8}{\eta(\frac{\tau}{2})^8}=x\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x^{4n})^8}{(1-x^{n})^8}에 미분연산자  x\frac{d}{dx}\log(즉 로그를 취한뒤, 미분 후, x 곱하기) 을 취하면, 

1+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{1-x^n}-8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4nx^{4n}}{1-x^{4n}}=1+8\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4\nmid d}d)q^n를 얻는다. 

따라서 r_4(n)=\sum_{d|n,4\nmid d}d■

 

 

 

타원함수론을 이용한 증명

\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n

A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n

여기서 \sigma(n) 에 대해서는 자연수의 약수의 합 항목 참조.

B(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot \frac{2mq^{2m}}{1-q^{2m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot{2mq^{2m}}(1+q^{2m}+q^{4m}+\cdots)=\sum_{m=1,n=1}^{\infty}m(1+(-1)^m){q^{2mn}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4|d}d)q^n

\theta^4(q)=1+8A(q)-8B(q) 를 증명하면 된다. 

 

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

자코비 세타함수의 삼중곱 정리로부터, 다음을 얻는다.

 

\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)

여기서 x=e^{\pi i \tau}.

 

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